Wat is in de kwantumtheorie het verschil tussen een goede gemengde toestand en een onjuiste gemengde toestand?


Antwoord 1:

Voor zover ik het begreep, is een juiste gemengde toestand een statistische combinatie van zuivere toestanden die allemaal deel uitmaken van het experiment, terwijl een onjuiste gemengde toestand is waar een deel van het systeem geen deel meer uitmaakt van het experiment (zeg maar een kosmische straal) raakt verstrikt met je qubit en vliegt weg - wat je overhoudt is een onjuist gemengde staat, omdat je niet langer toegang hebt tot de hele staat).

Toen ik deze vraag onderzocht, vond ik dit - http: //arxiv.org/pdf/quant-ph/01 ... - dat een overtuigend argument maakt dat juiste gemengde toestanden fysiek onmogelijk zijn; je hebt alleen pure toestanden en onjuiste gemengde toestanden.

Over hoe belangrijk ze zijn voor het begrijpen van metingen, moeten we wachten tot iemand met wat bh-kets over heeft; Ik ben er helemaal uit. Misschien Allan Steinhardt :)


Antwoord 2:

Het verschil tussen juiste en onjuiste gemengde toestanden is het verschil tussen degenen die kunnen worden geïnterpreteerd als voortkomend uit onwetendheid van de zuivere staat (juiste mengsels), en degenen die niet zo kunnen worden geïnterpreteerd (onjuiste mengsels). Deze onjuiste mengsels ontstaan ​​wanneer u een subsysteem van een grotere zuivere staat onderzoekt.

Het onderscheid is subtiel en ik weet geen manier om het uit te leggen zonder uitgebreid gebruik van het apparaat van operators voor dichtheidsmatrixen. En dit is een apparaat dat meestal geen deel uitmaakt van een eerste cursus kwantummechanica. Dus wees gewaarschuwd, dit kan een beetje knapperig worden.

Genoeg excuses, laten we gaan kraken.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Waar er onzekerheid is over welke van een aantal pure toestanden het kan zijn. Waar het systeem open is (d.w.z. het is een subsysteem van een groter systeem).

We beginnen met de introductie van dichtheidsexploitanten via de eerste situatie:

Onwetendheid over de toestand van het systeem ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... of als subsysteem van een groter systeem:

Overweeg een verwarde toestand (een EPR / Bell-staat van spin voor dit voorbeeld). Dit is een pure staat:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Dus de dichtheidsmatrix van deze pure staat is eenvoudig:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Maar stel nu dat we alleen metingen van het eerste elektron mogen uitvoeren. Om te begrijpen wat dit zou geven, voeren we een bewerking uit die het gedeeltelijke spoor wordt genoemd (wat in feite een methode is om alle vrijheidsgraden te achterhalen die bij het tweede deeltje horen), en verkrijgen we een matrix met verminderde dichtheid die alle mogelijke waarnemingen voor de eerste samenvat alleen elektron:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Hoe het verschil te zien ...

Hier is de crux: deze matrix met gereduceerde dichtheid is lokaal niet te onderscheiden van de dichtheidsmatrix die ik kon krijgen door volledig onwetend te zijn of het systeem zich in een zuivere toestand omhoog of in een zuivere toestand omlaag bevond. Als ik aan elke mogelijkheid 50% waarschijnlijkheid zou toekennen, zou de resulterende juiste gemengde toestand er hetzelfde uitzien:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

Waarom zijn ze belangrijk bij het meten?

We kunnen dit zien door deze lessen toe te passen op het decoherentieproces.

In decoherentie raakt een kwantumsysteem verstrikt in het systeem van het meetapparaat, en de interferentietermen (d.w.z. al die niet op de diagonaal van de "wijzer" basis van dat meetapparaat) verdwijnen snel (bijna tot nul).

U kunt vervolgens het gedeeltelijke spoor volgen om naar de matrix met verminderde dichtheid voor het systeem te kijken. En, net als het bovenstaande voorbeeld, is deze matrix met verminderde dichtheid niet te onderscheiden van de dichtheidsmatrix die is opgesteld door iemand die eenvoudigweg niet weet in welke zuivere aanwijstoestand hij het systeem had voorbereid.

Je zou dus in de verleiding kunnen komen om te zeggen dat het meetprobleem is opgelost! Laten we de matrix met verminderde dichtheid gewoon interpreteren als een puur mengsel - dat wil zeggen als onze onwetendheid over de positie van de aanwijzer. We kunnen het dan uitzoeken door naar de aanwijzer te kijken.

Maar dit betekent een onjuist mengsel alsof het een goed mengsel is.

Of anders gezegd, het interpreteert een 'en' als een 'of'. Alle zuivere toestanden van de wijzer bevinden zich nog steeds in de grotere golffunctie (d.w.z. in het volledige systeem), en we moeten laten zien waarom de anderen verdwijnen (en vergeet niet dat dit verdwijnen in tegenspraak is met eenheidsevolutie). Dat hebben we nog niet gedaan.

Wat bedoelen mensen als ze zeggen dat decoherentie het meetprobleem oplost?

Als je nu een Everettiaans / vele werelden persoon bent, laat dit je precies waar je wilt zijn. Je kunt volledig accepteren dat decoherentie een "en", niet een "of" geeft in de matrix met verminderde dichtheid. Everettiaanse / vele wereldenmensen kunnen die conclusie volledig serieus nemen en de matrix met verminderde dichtheid interpreteren als een uitdrukking van wat "jij" in jouw branche ziet, maar absoluut accepteren dat alle andere aanwijstoestanden ook worden gerealiseerd.

Iedereen die Everett NIET accepteert, moet een account toevoegen van hoe slechts één aanwijzerstatus wordt geselecteerd uit de matrix met verminderde dichtheid (zelfs de school "zwijg en bereken" moet dit doen, hoewel ze vermoedelijk zeggen: "Zwijg en selecteer er een met een waarschijnlijkheid gegeven door de Born-regel. ")

Het probleem is dat er mensen zijn die serieus lijken te beweren dat decoherentie het meetprobleem zelf oplost. Als we ze aan hun woord houden, komt dit neer op de Everett-interpretatie. Maar het is soms moeilijk te begrijpen of ze stilzwijgend de Everett / Many-wereldvisie accepteren, of juist de fout hebben gemaakt om juiste en onjuiste mengsels te combineren.


Antwoord 3:

Het verschil tussen juiste en onjuiste gemengde toestanden is het verschil tussen degenen die kunnen worden geïnterpreteerd als voortkomend uit onwetendheid van de zuivere staat (juiste mengsels), en degenen die niet zo kunnen worden geïnterpreteerd (onjuiste mengsels). Deze onjuiste mengsels ontstaan ​​wanneer u een subsysteem van een grotere zuivere staat onderzoekt.

Het onderscheid is subtiel en ik weet geen manier om het uit te leggen zonder uitgebreid gebruik van het apparaat van operators voor dichtheidsmatrixen. En dit is een apparaat dat meestal geen deel uitmaakt van een eerste cursus kwantummechanica. Dus wees gewaarschuwd, dit kan een beetje knapperig worden.

Genoeg excuses, laten we gaan kraken.

Normalquantummechanicsdescribesasystemusingastatevector:ψ1.Andthisisfine,butitisntthemostgeneralsituation.Thereareatleasttwoimportantcircumstanceswherethisapproachcannotbeused:Normal quantum mechanics describes a system using a state vector: |\psi_{1}\rangle. And this is fine, but it isn't the most general situation. There are at least two important circumstances where this approach cannot be used:

  1. Waar er onzekerheid is over welke van een aantal pure toestanden het kan zijn. Waar het systeem open is (d.w.z. het is een subsysteem van een groter systeem).

We beginnen met de introductie van dichtheidsexploitanten via de eerste situatie:

Onwetendheid over de toestand van het systeem ...

Letssaywehaveasetofpossiblestatesthatthesystemcanbein:ψ1,[math]ψ2,[/math][math]ψ3...[/math][math]ψn[/math],eachwithprobability[math]p1,p2,p2...,pn[/math].Thenwedefinethedensityoperator:Let's say we have a set of possible states that the system can be in: |\psi_{1}\rangle, [math]|\psi_{2}\rangle,[/math][math]|\psi_{3}\rangle...[/math][math]|\psi_{n}\rangle[/math], each with probability [math]p_{1}, p_{2}, p_{2}..., p_{n}[/math]. Then we define the density operator:

ρ=ipi[math]ψi[/math][math]ψi[/math]\rho = \sum_{i} p_{i}[math]|\psi_{i}\rangle \langle[/math][math]\psi_{i}|[/math]

Whichissimplythesumoftheprojectorsforeachofthestates,weighedbytheprobabilitythattheyareinthestate.ItsprettyeasytoseethatforanyobservableO:Which is simply the sum of the projectors for each of the states, weighed by the probability that they are in the state. It's pretty easy to see that for any observable O:

O=Tr(ρO)\langle O \rangle = Tr(\rho O)

Anditturnsout(thoughImnotgoingtoprovethis)thatthedensityoperatoristhemostgeneralwayofobtaininganymeasurablequantitywecancomeupwith.Aswellasbeingabletoexpressmixturesofpurestatesψi,italsohastheadvantageofbeingbasisindependent:thereisonlyonedensityoperatorforeachsystem(asopposedtomanyexpressionsintermsofpurestates).And it turns out (though I'm not going to prove this) that the density operator is the most general way of obtaining any measurable quantity we can come up with. As well as being able to express mixtures of pure states |\psi_{i}\rangle, it also has the advantage of being basis independent: there is only one density operator for each system (as opposed to many expressions in terms of pure states).

... of als subsysteem van een groter systeem:

Overweeg een verwarde toestand (een EPR / Bell-staat van spin voor dit voorbeeld). Dit is een pure staat:

ψ=[math]12([/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math])[/math]|\psi\rangle =[math]\frac{1}{\sqrt{2}}([/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow\rangle+ [/math][math]|\downarrow\uparrow[/math][math]\rangle)[/math]

Dus de dichtheidsmatrix van deze pure staat is eenvoudig:

ρfull=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math][math][/math]\rho_{\text{full}}=\frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\uparrow[/math][math]\downarrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]\uparrow[/math][math]| + [/math][math]|\downarrow[/math][math]\uparrow \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]\downarrow[/math][math]| )[/math][math] [/math]

Maar stel nu dat we alleen metingen van het eerste elektron mogen uitvoeren. Om te begrijpen wat dit zou geven, voeren we een bewerking uit die het gedeeltelijke spoor wordt genoemd (wat in feite een methode is om alle vrijheidsgraden te achterhalen die bij het tweede deeltje horen), en verkrijgen we een matrix met verminderde dichtheid die alle mogelijke waarnemingen voor de eerste samenvat alleen elektron:

ρimproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{improper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Hoe het verschil te zien ...

Hier is de crux: deze matrix met gereduceerde dichtheid is lokaal niet te onderscheiden van de dichtheidsmatrix die ik kon krijgen door volledig onwetend te zijn of het systeem zich in een zuivere toestand omhoog of in een zuivere toestand omlaag bevond. Als ik aan elke mogelijkheid 50% waarschijnlijkheid zou toekennen, zou de resulterende juiste gemengde toestand er hetzelfde uitzien:

ρproper=12([math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math]+[/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math][/math][math])[/math]\rho_{\text{proper}} = \frac{1}{2}([math]|\uparrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\uparrow[/math][math]| +[/math][math]|\downarrow[/math][math] \rangle[/math][math]\langle[/math][math]\downarrow[/math][math]|[/math][math])[/math]

Andremember,thedensitymatrixencodestheresultsofalltheobservablesthatwemightgetfrommeasuringthissystem.Sotheyarelocallyindistinguishable.Butweknowthatinthecaseoftheρimproperthereisanotherentangledstateofthesystem,andBelltellsusthatthejointstatisticsofbothelectronscannotbereproducedbyanignoranceinterpretation(i.e.,by[math]ρproper[/math]).Andthisisthecriticaldifferencebetweentheproperandimpropermixtures.Butthisisadifferencethatyoucannotdetectunlessyouhaveaccesstothelargersystem.And remember, the density matrix encodes the results of all the observables that we might get from measuring this system. So they are locally indistinguishable. But we know that in the case of the \rho_{\text{improper}} there is another entangled state of the system, and Bell tells us that the joint statistics of both electrons cannot be reproduced by an ignorance interpretation (i.e., by [math]\rho_{\text{proper}}[/math]). And this is the critical difference between the proper and improper mixtures. But this is a difference that you cannot detect unless you have access to the larger system.

Waarom zijn ze belangrijk bij het meten?

We kunnen dit zien door deze lessen toe te passen op het decoherentieproces.

In decoherentie raakt een kwantumsysteem verstrikt in het systeem van het meetapparaat, en de interferentietermen (d.w.z. al die niet op de diagonaal van de "wijzer" basis van dat meetapparaat) verdwijnen snel (bijna tot nul).

U kunt vervolgens het gedeeltelijke spoor volgen om naar de matrix met verminderde dichtheid voor het systeem te kijken. En, net als het bovenstaande voorbeeld, is deze matrix met verminderde dichtheid niet te onderscheiden van de dichtheidsmatrix die is opgesteld door iemand die eenvoudigweg niet weet in welke zuivere aanwijstoestand hij het systeem had voorbereid.

Je zou dus in de verleiding kunnen komen om te zeggen dat het meetprobleem is opgelost! Laten we de matrix met verminderde dichtheid gewoon interpreteren als een puur mengsel - dat wil zeggen als onze onwetendheid over de positie van de aanwijzer. We kunnen het dan uitzoeken door naar de aanwijzer te kijken.

Maar dit betekent een onjuist mengsel alsof het een goed mengsel is.

Of anders gezegd, het interpreteert een 'en' als een 'of'. Alle zuivere toestanden van de wijzer bevinden zich nog steeds in de grotere golffunctie (d.w.z. in het volledige systeem), en we moeten laten zien waarom de anderen verdwijnen (en vergeet niet dat dit verdwijnen in tegenspraak is met eenheidsevolutie). Dat hebben we nog niet gedaan.

Wat bedoelen mensen als ze zeggen dat decoherentie het meetprobleem oplost?

Als je nu een Everettiaans / vele werelden persoon bent, laat dit je precies waar je wilt zijn. Je kunt volledig accepteren dat decoherentie een "en", niet een "of" geeft in de matrix met verminderde dichtheid. Everettiaanse / vele wereldenmensen kunnen die conclusie volledig serieus nemen en de matrix met verminderde dichtheid interpreteren als een uitdrukking van wat "jij" in jouw branche ziet, maar absoluut accepteren dat alle andere aanwijstoestanden ook worden gerealiseerd.

Iedereen die Everett NIET accepteert, moet een account toevoegen van hoe slechts één aanwijzerstatus wordt geselecteerd uit de matrix met verminderde dichtheid (zelfs de school "zwijg en bereken" moet dit doen, hoewel ze vermoedelijk zeggen: "Zwijg en selecteer er een met een waarschijnlijkheid gegeven door de Born-regel. ")

Het probleem is dat er mensen zijn die serieus lijken te beweren dat decoherentie het meetprobleem zelf oplost. Als we ze aan hun woord houden, komt dit neer op de Everett-interpretatie. Maar het is soms moeilijk te begrijpen of ze stilzwijgend de Everett / Many-wereldvisie accepteren, of juist de fout hebben gemaakt om juiste en onjuiste mengsels te combineren.