Als de som van vierkanten van twee getallen 80 is en het kwadraat van het verschil tussen de twee getallen 36 is, wat is dan het product van twee getallen?


Antwoord 1:

Het antwoord is 22.

Laat de twee getallen x en y zijn.

De gegeven voorwaarden zijn:

  • De som van vierkanten van twee getallen is 80.x² + y² = 80Het kwadraat van het verschil tussen de twee getallen is 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Neem de tweede voorwaarde en leid een waarde af voor x².

  • x²-2xy + + 2xy y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + + 36 2xy

Vervang x² in de eerste voorwaarde door de afgeleide waarde.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Het product van de twee getallen (x, y) is dus 22.


Antwoord 2:

Eerste voorwaarde:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Tweede voorwaarde:

(ab)2=36(a-b)^2=36

Van tweede voorwaarde:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Eerste voorwaarde vervangen:

802ab=3680-2ab=36

reorganiseren

2ab=8036=442ab=80-36=44

Zo

2ab=442ab=44

en

ab=22ab=22

.

Het antwoord: het product is 22.

Als u het volledige systeem wilt oplossen: verschil is

36=6\sqrt{36}=6

en product is

2222

, dus voor

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Dus als we de oplossingen voor krijgen

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

we kunnen het probleem oplossen.

De oplossing voor

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

is

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Zo

a=31+3a=\sqrt{31}+3

en

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Het is gemakkelijk om te bewijzen dat deze twee nummers voldoen aan de voorwaarden van de vraag en het antwoord.


Antwoord 3:

Eerste voorwaarde:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Eerste voorwaarde vervangen:

319=2231–9=22

reorganiseren

x2+y2=80x^2+y^2=80

Zo

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

en

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

Als u het volledige systeem wilt oplossen: verschil is

36=6\sqrt{36}=6

en product is

2222

, dus voor

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Dus als we de oplossingen voor krijgen

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

we kunnen het probleem oplossen.

De oplossing voor

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

is

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Zo

a=31+3a=\sqrt{31}+3

en

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Het is gemakkelijk om te bewijzen dat deze twee nummers voldoen aan de voorwaarden van de vraag en het antwoord.